2021中国东南地区数学奥林匹克解答：趣味满分的奥数盛宴！

嘿，亲爱的小伙伴们！你是否还记得那一场激烈又充满脑洞的数学奥林匹克盛事？没错，就是2021年中国东南地区数学奥林匹克！这次比赛简直是一锅“数学大餐”，不仅考验你的逻辑思维，更让你领略到“数学界的小确幸”。今天，就带你遨游在这场题海迷宫里，拆解那些“老板级别”的经典题目，告诉你那些“为什么不行”的小秘密。准备好了吗？Let’s go！

“如果，a + b + c = 15，且a、b、c都为正整数，求满足条件的a、b、c的所有组合。”听起来简单？哼哼，小伙伴们，以为这就完了？错啦！这是个“数学侦探”的故事。你需要想象一只“侦探狗”在寻找线索。

我们可以用“星星赎罪法”，假设a=1，然后b+c=14，接着列出所有b+c=14的正整数组合：(1,13)，(2,12)，(3,11)，…，直到(13,1)。然后不断变化a，就能找到所有符合条件的组合。记得，a、b、c都要是正整数，这意味着不能有0哦！

但实际上，这题更像是“烧脑的拼图游戏”。如果你用“组合数学”中的“星星和条纹法”来分配15个“点”给a、b、c，就会发现答案是：a、b、c的所有正整数组合都可以用“+”叠出来。总共多少种呢？答案是组合数 C(15-1, 3-1)= C(14,2)=91。

这还只是“入门级”的一级做法，要是上天给个“奇葩限制”比如a

【题目二：神秘的“数字迷宫”】

“找到一个三位数，百位数字比十位多2，十位数字比个位少1，且所有数字之和为20。请问这个数字是多少？”你以为简单？那你就out了。这玩意儿是“数字迷宫中的迷魂汤”。

设百位数字为x，十位为y，个位为z。有条件：x=y+2，y=z+1，而且x+y+z=20。把条件一代入二，得到x=y+2；将x=y+2带入第三个条件：x+y+z=20，换句话说：(y+2)+y+z=20。

再用条件三，得到(y+2)+y+z=20，简化为2y+z+2=20，或者2y+z=18。因为z=y?1（从条件二得出：z=y?1），再代入：2y + y?1=18，变成3y?1=18，得出3y=19。哎呀，这是个难题！因为y必须是整数，但19/3不是整数。

这意味着，我们得考虑“零碎”的可能性：也许有某个特殊情况被漏掉？或许错了？但据我所知，这个谜题的“隐藏玄机”是：这个题的答案其实是…等会儿，你猜猜看？还是试试其他法子，比如“假设法”或“逆向思维法”。

【题目三：奇幻的“弹珠运动”】

“两个弹珠，一个蓝色，一个红色，从同一点出发，以不同的速度沿不同的折线轨迹运动，终点在同一点。问：哪只弹珠会先到终点？”啊哈，这个问的是“充满悬念的运动学问题”，但古人云：“运动慢的，胜似运动快的”。

实际上，这题暗藏玄机，答案是：看轨迹的“折线”。如果用“平行移动法”解答：假设弹珠沿路径运动时间相等，速度与路径长度成正比。若路径长度不同，速度不一样，谁先到终点全由这个“比值”决定。

比如蓝色弹珠走的路径是10单位，红色是15单位，要在同一时间到达，速度就得“按比例”调整。若两者运动的时间相等，越短的路径越快到。可是，如果两个弹珠以相同速度运动，也許它们会同时到？或者，弹珠还可以“偷偷”用“瞬间”跳跃？不然你猜，它们谁会先到？

【题目四：万能的“小数点谜题”】

“一个两位数，两个数字之和为11，它的十位数字比个位数字多2，这个数字是多少？”动脑啦！十位数字设为a，个位为b，条件：a+b=11，且a=b+2。

由条件a=b+2，带入之一个：b+2 + b=11，得2b+2=11，得2b=9，b=4.5，不是整数！咱们得思考：是不是题中藏了点“小秘密”？其实，答案是：这个题的“陷阱”在于“数字必须是整数”的定义。如果不考虑整数的话，就会有另一个“非正式答案”。

在日常奥数中，这题经常被“捉弄”的原因就是：谁知道？或许，答案就是“答案没那么硬核”，而是“喜欢用数字跳舞”。

【题目五：枯燥变得“有趣”——数的排列】

“用1到9连续数字，组成两个3位数，且两个数的差为594。问：这两个数各是多少？”这题听起来像拼拼凑凑的“数码拼盘”。走棋式解法：假设之一个数是abc，第二个是xyz，差是594。

接着分析：594的百位是5，十位是9，个位是4。那么，比较两个数的差，可能是在十位与百位上有较大差异。

具体怎么算？比如，abc - xyz=594。试试猜数字，因为594在百位上是5，十位9，个位4。可以用“反推法”：猜两个数，满足差594。

比如，将a设为6或7？用“拆解法”——设之一个数为abc，第二个数为uvw，满足abc-uvw=594。那就比如：abc=100a+10b+c，uvw=100u+10v+w。

：简化？认！如果把“差”拆开：abc的百位比uvw多五（因为594的百位是5），反推会是哪两个数字？你是不是感觉越猜越迷糊？其实，奥数的诀窍是：试“巧板”排序，把差的“千斤顶”找到。

还得提一句，这道题也可以用“列方程”解决：假设abc和xyz，看两者的百位、十位和个位的关系。

【题目六：神奇的“平方魔术”】

“求一个三位数，该数是它各位数字的平方和。例如：abc满足什么条件？”这题优雅得令人心动，因为涉及“数字与自己的关系”。

解题步骤：设这个数是xyz。条件是 xyz= x2 + y2 + z2，同时x、y、z都是1到9的数字（因为是三位数嘛）。

比如，假设x=1，那么12=1，y=2，22=4，z=3，32=9，总和是14。不符合条件——还得找符合“xyz=x2 + y2 + z2”的三位数组合。

试试看：x=3，32=9，y=4，16，z=5，25，总和=9+16+25=50，没有三位数是“354”吗？不对呀，这个问题的核心是在寻找数字本身和数字平方和的“平衡”。

如果用编程法：可以写个小程序扫描1-9的所有组合，找出符合条件的数字。或者用“数学巧思”—其实，满足条件的数字很少，可能仅有“235”，因为22+32+52=4+9+25=38，不能等于235，但如果反过来看，或许是个“脑洞题”。

【题目七：奇妙的“卡片游戏”】

“双数卡片和单数卡片放在一起，问：最多可以组成多少个不同的三数字组合，使得它们的和是奇数？”这题就像卡牌游戏中的心理战。

这里的秘籍是：只要三数字的奇偶性质符合，和才是奇数。奇数和偶数组合的特性知道：奇+奇+奇=奇；偶+偶+奇=奇。而其他组合都得了“偶”。

所以，要组成奇数和的三数字，必须“三奇”或“两个偶加一个奇”。假设有3个奇数、4个偶数，那我们就来算：从奇数里选三个，有C(3,3)=1个；从偶数里选两个，加上奇数，或者反过来。

以此推断，最多的三数组合，就是把所有奇数或偶数组合全部考虑进去。这题的重点在于巧妙计算“组合数里隐藏的秘密”。

【题目八：神秘的“加减法”平衡术】

“一个数学魔术：用加减运算，表达成一个三位数，满足每个数字都出现在表达式中。例如：589=5+8+9。”这其实是“数字拼盘”的升级版。

所谓“神奇”在于：只用数字6、7、8、9，运算符“+”“?”组成表达式，让结果和三个数字谐音或者对应。

比如：8+9+5=22，或者“用算法让它等于原数字？”这是一场追逐“字体雅集”的不可思议的碰撞。

一些“高手”就用“数字拼接法”把这件事变成“加减交响曲”。至于“难度”呢？你继续用你的“猜谜”玩一玩，或许明天就会有“魔法师”出现。

【题目九：井字残局中的“数学彩蛋”】

“在一个井字棋盘上，用0和1填充，问：能凑出最多的连续1？”听起来像个“小棋盘”，其实暗藏玄机。

答案：用“贪心算法”去统计连续的1的最长长度。比如：1110顶在左上角，长了个“连续三”。

这题的重点在于：自己动动手指，试试不同的填充方案，也许你会发现金光闪闪的“秘密”。

【题目十：玩味无穷的“逆向思维”题】

“一个密室里藏着一串数字，线索是：数字之和为27，且每个数字都不相同。请找到这串数字。”听起来像“压箱底”的谜题。

这其实是“猜数字游戏”，题告诉你：数字不重复，和为27。

小伙伴们可以设定上下限，比如1到9的数字，重复的不行，因为题中说“不相同”。那么：1、2、3、4、5、6、7、8、9，总和45，要减去一些数字，才能得出27。

用逆向思维：你需要找出一组数字，相加等于27，要低调地告诉你：答案一定在1到9的数字里，差不多就像一场“福利大放送”。

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你还觉得比这些题目难的吗？要不要再来点“脑筋急转弯”的燃料？或者，下一题“究竟谁才是真正的数学王者”呢？一定有人偷偷在暗暗算计，要不要猜猜看最后那题的答案？试试用“脑洞大开”的思维，解锁它的秘密！》